الانفراج الأول إلى المتناهي وهو الانفراج بينهما حال ذهابهما إلى غير النهاية وهذا خلف ، لأنه يلزم انحصار ما لا يتناهى بين الحاصرين ، إذ الانفراج لا بدّ أن يكون متناهيا لكونه محصورا بين حاصرين وهما الساقان ؛ مثلا إذا امتد الساقان عشرة أذرع وكان الانفراج بينهما حينئذ ذراعا ، فإذا امتداد عشرين كان الانفراج ذراعين قطعا ، وإذا امتدّا ثلاثين كان الانفراج ثلاثة أذرع وهكذا ، وهذا معنى نسبة الانفراج إليهما وحينئذ يكون نسبة المتناهي وهو الامتداد الأول أعني العشرة إلى غير المتناهي وهو امتداد الخطّين الذاهب إلى غير النهاية كنسبة المتناهي هو الانفراج الأول أعني الذراع الواحد إلى المتناهي وهو الانفراج بينهما حال ذهابهما إلى غير النهاية ، لما مرّ أنّ نسبة الامتداد إلى الامتداد كنسبة الانفراج إلى الانفراج ، وهذا خلف لأن نسبة المتناهي إلى المتناهي معيّنة ويستحيل ذلك بين المتناهي وغير المتناهي. هذا هو البرهان السّلمي على الإطلاق. وأمّا مع زيادة التلخيص فهو أنّا نفرض من نقطة ما خطّين ينفرجان بحيث يكون الانفراج بينهما بقدر الامتداد ، فإذا ذهبا إلى غير النهاية كان البعد بينهما غير متناه أيضا بالضرورة ، واللازم باطل لأنّه محصور بين حاصرين ، والمحصور بين حاصرين يمتنع أن لا يكون له نهاية ضرورة.

برهان المسامّة (١) : [في الانكليزية] Coincidence proof or : demonstration ـ [في الفرنسية] Demonstration par la coincidence

قالوا لو وجد بعد غير متناه ولو من جهة واحدة فلنا أن نفرض من مبدأ معيّن خطّا غير متناه وخطّا آخر متناهيا موازيا له ، ثم يميل الخط المتناهي بحركة مع ثبات أحد طرفيه الذي في جانب المبدأ من الموازاة مائلا إلى جهة الخطّ الغير المتناهي ، فيسامّه (٢) أي يلاقيه بالإخراج ضرورة ، والمسامّة (٣) حادثة لأنّها كانت معدومة حال الموازاة ، فلها أول ، إذ كلّ حادث كذلك وهي أي مسامته (٤) إيّاه بنقطة ، لأنّ تقاطع الخطين لا يتصوّر إلاّ عليها ، فيكون في الخطّ الغير المتناهي نقطة هي أول نقطة المسامّة (٥) وأنه محال ، إذ ما من نقطة تفرض على الخطّ الغير المتناهي إلاّ والمسامّة (٦) مع ما قبلها أي فوقها من جانب لا تناهي الخط قبل المسامة (٧) معها ، لأن المسامة (٨) مع أية نقطة تفرض إنّما تحصل بزاوية مستقيمة الخطّين عند الطرف الثابت من الخطّ المتناهي ، فأحد الطرفين (٩) هو مبدأ (١٠) المتناهي مفروضا على وضع الموازاة والآخر هو بعينه أيضا ، لكن حال كونه على وضع المسامّة (١١). والزاوية تقبل القسمة إلى غير النهاية ، وكلّما كانت الزاوية أصغر كانت المسامة (١٢) مع النقطة الفوقانية ،

__________________

(١) المسامتة (م).

(٢) فيسامته (م).

(٣) والمسامتة (م).

(٤) مسامتته (م).

(٥) المسامتة (م).

(٦) المسامتة (م).

(٧) المسامتة (م).

(٨) المسامتة (م).

(٩) الخطين (م).

(١٠) هذا (م).

(١١) المسامتة (م).

(١٢) المسامتة (م).