وأمّا تضعيف الألف والألفين مرات غير متناهية ، فإنّ قبولهما للزيادة والنقصان لا ينافي عدم تناهيهما ، لأنّ الزيادة والنقصان ليس باعتبار ما حصل لهما من عدم التناهي في العدد ، وإنّا إذا قابلنا كلّ واحد من آحاد الألف المتضاعفة إلى غير النهاية بكل واحد من آحاد الألفين المتضاعفة إلى غير النهاية أيضا لم يتفاوتا في العددية ، بل تفاوتا في مقابلة كلّ واحد باثنين ، فالتفاوت حصل لهما عرضا ، وعدم التناهي طولا ، وكان بالحقيقة كفرض ثلاثة آلاف في مرتبة واحدة تضاعف كلّ ألف منها إلى ما لا يتناهى.

د (١) : لو كانت الأبعاد غير متناهية لكان فيها حيثيات غير متناهية ، ونقط غير متناهية. وكلّ حيث في غير المتناهي بينه وبين كلّ واحد من الحيثيات الأخرى ، إمّا أن يتناهى أو لا يتناهى ، فإن تناهى ما بين كلّ واحد وواحد من الحيثيات الأخرى (٢) ـ أيّ واحد كان مع أيّ واحد ـ فليس فيه عددان من الحيثيات المستغرقة لعدم النهاية ، قربت أو بعدت ، اشتملت على أجزائها أو ما اشتملت إلّا وبينهما متناه ، فالكلّ متناه ، وإن كان بين حيثيّة وحيثية لا يتناهى فقد انحصر ما لا يتناهى بين حاصرين ، وهو محال.

وفيه نظر ؛ لعدم التلازم بين الحكم على الكل وكلّ واحد.

ه (٣) : لو كانت الأبعاد غير متناهية لكان ما لا يتناهى محصورا بين حاصرين ، والتالي باطل بالضرورة فالمقدم مثله.

بيان الشرطية : أنّه يمكن فرض خطين خرجا من نقطة واحدة كساقي مثلث على زاوية هي ثلثا قائمة ، ثم يمتدان إلى غير النهاية ، فيكون الوتر مساويا لهما ،

__________________

(١) هذا هو البرهان الرابع.

(٢) م : «الأخرى» ساقطة.

(٣) وهذا هو البرهان الخامس.