فإذن كلّ زيادة وكل مجموع زيادات فهو واقع في بعد ما من تلك الأبعاد ؛ إذ لو لم يكن كذلك لزم أن يوجد بعد يشتمل على جملة ما دونه من الزيادات ، ولا يشتمل عليه ، وعلى المزيد عليه بعد آخر فوقه ، فلا جرم يكون هو آخر الأبعاد الانفراجية ، وهذا خلف.

فإذن كلّ زيادة ، وكل مجموع زيادات ، أي مجموع كان ، فهو في بعد فوقها ، فمجموع الزيادات الغير المتناهية في بعد فوقها ، فقد صار غير المتناهي بالفعل محصورا بين حاصرين.

وأيضا قد صار الساقان منتهيين عند ذلك البعد.

وصل

وأيضا لو امتدّ البعد إلى غير النهاية أخرجنا خطا مستقيما غير متناه ، ووضعنا كرة يكون قطر منها موازيا له ، فإذا تحرّكت الكرة انتقل قطرها إلى المسامتة ، ولأن المسامتة حادثة ، فيجب أن تكون في الخط الغير المتناهي نقطة هي أوّل نقط المسامتة ، فينتهي الخط بها ؛ إذ لو كان فوقها نقطة فإما أن لا يسامتها القطر الموازي ، فيلزم الطفرة ، أو يسامتهما معا ، وهو ضروري البطلان ، أو يسامتها أولا ، فلم تكن النقطة المفروضة أوّل نقط المسامتة، هذا خلف.

وصل

وأيضا إذا فرضنا خطين غير متناهيين متقاطعين ، تحرّك أحدهما على الآخر إلى أن يوازيه ، فيجب أن يتخلّص عنه ، وهو إنّما يكون في آن وعند نقطة