حصلت في هذا الخط. فهذا هو المثلث الثاني. ثم إذا وضعنا ذلك المثلث على خط آخر ، مركب من أربعة أجزاء بالطريق الأول ، فهو (١) المثلث الثالث. وقس عليه سائر المراتب التي لا نهاية لها. فثبت : بما ذكرنا : أنا إذا قلنا : الجسم مركب من أجزاء لا تتجزأ. فإن شيئا من المثلثات لا يوجد إلا بسبب وقوع جزء متصل الجزءين. وذلك يوجب القسمة.

ولقائل أن يقول : قولكم «الجزء إذا وقع على متصل الجزءين ، لزم حصول القسمة» وقد سبق الكلام عليه.

الحجة الثالثة : قالوا : إذا أردنا أن نعمل مثلثا من الواحد والاثنين والثلاثة ، امتنع. وإلا لزم أن يكون مجموع الضلعين مساويا للضلع الثالث. وهو محال : أما إذا أردنا أن نعمل مثلثا من الاثنين والثلاثة والأربعة ، حصل منه مثلث منفرج الزواية. لأن مربع الأربعة ، أزيد من مجموع مربع الاثنين ومربع الثلاثة. وبهذا البيان. يظهر أن المثلث الذي يكون منفرج الزواية ، أقدم أنواع المثلثات. أما إذا أردنا أن نعمل مثلثا من الثلاثة والأربعة والخمسة. فإنه يحصل منه مثلث قائم الزاوية ، لأن مربع الخمسة يساوي مجموع مربع الثلاثة ، ومربع الأربعة. أما إذا أردنا عمله من الأربعة والخمسة والستة ، حصل منه مثلث حاد الزوايا. لأن مربع الستة أقل من مجموع مربع الخمسة ومربع الأربعة. إلا أن هذا المثلث ـ وإن كان حاد الزوايا ـ إلا أنه مختلف الزوايا. وأعظمها هي الزاوية التي بوترها (٢) الضلع الأعظم ـ وهو الستة ـ وأما (٣) إذا أردنا عمل المثلث من الخمسة والستة والسبعة ، حصل أيضا مثلث حاد الزوايا. إلا أن الزاوية التي كان بوترها الضلع الأعظم من المثلث السابق ، أعظم من الزاوية التي بوترها الضلع الأعظم من هذا المثلث. فإنا بينا : أن أول تلك الزوايا هي المنفرجة ثم القائمة ثم الحادة. وعلى هذا الطريق فلا يزال يزداد ضيق تلك الزوايا.

__________________

(١) فهو المثلثات الثالثة وقس (م).

(٢) يؤثرها (م).

(٣) وإذا أردنا (م).