كان؟ سواء كان مثلثا أو مربعا أو مخمسا. أو غير ذلك من المضلعات التي لا نهاية لها. فإنك إذا أخرجت كل واحد من أضلاعه في جهة واحدة ، فإن مجموع الزوايا الحادثة في الخارج من ذلك الضلع ، يساوي أربع قوائم. لا أزيد ولا أنقص. والدليل عليه : الاستقراء والبرهان.

أما الاستقراء : فهو أن المثلث إذا أخرج كل واحد من أضلاعه الثلاثة على الاستقامة، حيث من كل منها زاويتان معادلتان لقائمتين ومجموعهما ست قوائم ، والواقع (١) في داخل المثلث اثنان. فالباقي من تلك الستة (٢) في الخارج : أربع قوائم. وأيضا : المربع إذا أخرج كل واحد من أضلاعه الأربعة إلى الخارج ، حدث بسبب كل ضلع قائمتان (٣) أو معادلتان لقائمتين. فالمجموع : ثمانية. لكن المربع يحصل فيه مثلثان ، فتكون القوائم الحاصلة في داخل المربع : أربعة. فبقيت (٤) الحاصلة في الخارج أربعة. وأيضا : المخمس إذا أخرج كل واحد من أضلاعه على الاستقامة إلى الخارج ، حدث بسبب كل ضلع زاويتان (٥) معادلتان لقائمتين. فيكون مجموع القوائم : عشرة. والواقع منها في داخل المخمس : ست ، فيبقى في الخارج : أربعة. واعتبر حال سائر الأشكال من نفسك. لتعرف أن الحال كما ذكرناه.

وأما البرهان : فنقول إن كل مضلع (٦) فإنه يمكن إخراج كل واحد من أضلاعه على الاستقامة. فإذا فعلنا حصل بسبب ذلك زاويتان معادلتان لقائمتين إحداهما واقعة في داخل [ذلك (٧)] المضلع ، والأخرى خارجة عنه. وإذا كان كذلك ، وجب أن يكون عدد القوائم الحاصلة في الداخل والخارج : ضعيف عدد أضلاع ذلك المضلع.

__________________

(١) والراجع منها (ط) مكرر.

(٢) النسة : غير (م ، ط)

(٣) قائمتان ومعادلتان (م).

(٤) فيثبت : الحاصلة في داخل المربع أربعة ، فيثبت الحاصلة في الخارج أربعة (م).

(٥) زاويتان ومعادلتان (م).

(٦) ضلع (م).

(٧) من (ط) مكرر.